Beschreibung
Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB man noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der Art dieser zusatzlichen Daten spricht man in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = 0 stellen (vgl. § 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = 0 gestellt werden (vgl. § 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn man die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB".
Autorenportrait
InhaltsangabeErstes Kapitel Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen.- § 1. Dirichletsches Randwertproblem der Potentialgleichung.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung.- 3. Konstruktion der Lösung mittels der Greenschen Funktion.- 4. Festlegung der Lösung durch die Randwerte.- § 2. Anfangswertproblem der Wellengleichung.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche; Charakteristiken.- 3. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung; Ausbreitung von Unstetigkeiten.- 4. Charakteristisches Anfangswertproblem.- 5. Beispiel: Akustische Wellen in zylindrischem Rohr.- § 3. Hyperbolische, elliptische und parabolische Differentialgleichungen.- 1. Typeneinteilung der linearen Differentialausdrücke zweiter Ordnung.- 2. Normalformen der Differentialausdrücke L[f].- 3. Differentialgleichungen vom gemischten Typus.- §4. Analytische Lösungen analytischer Differentialgleichungen.- 1. Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski.- 2. Zurückführung des Existenzsatzes auf einen Konvergenzsatz.- 3. Bildungsgesetz der Koeffizienten cik.- 4. Konvergenzbeweis.- § 5. Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- 1. Formulierung analoger Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- 2. Lösung der Randwertaufgabe.- 3. Lösung der Anfangswertaufgabe.- 4. Grenzübergang von Differenzen- zu Differentialgleichungen.- 5. Anfangswertaufgabe bei allgemeineren Differenzengleichungen.- 6. Konvergenzbeweis.- § 6. Hyperbolische Differentialgleichungen in der Gasdynamik und Akustik.- 1. Grundgleichungen der Strömung kompressibler Medien.- 2. Spezialisierung für stationäre Strömungen.- 3. Spezialisierung für eindimensionale, zylindrische und kugelsymmetrische nichtstationäre Strömungen.- 4. Linearisierung der Differentialgleichungen.- Zweites Kapitel Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 7. Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Mongesches Richtungsfeld und Charakteristiken.- 2. Äquivalenzsatz.- 3. Anfangswertproblem.- 4. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich.- 5. Erläuterungen der Alternative an Differenzengleichungen.- 6. Spezialfall: Lineare Gleichung.- § 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Mongesches Richtungsfeld.- 2. Charakteristiken und charakteristische Streifen.- 3. Äquivalenzsatz.- 4. Anfangswertproblem.- 5. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich.- § 9. Vollständige und singuläre Integrale.- 1. Vollständige Integrale.- 2. Singuläre Integrale.- 3. Beispiele.- § 10. Berührungstransformationen.- 1. Elementvereine.- 2. Definition der Berührungstransformationen.- 3. Legendre-Transformation.- 4. Berührungstransformation von Differentialgleichungen.- § 11. Quasilineare Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristiken und Äquivalenzsatz.- 2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 3. Anfangswertproblem.- § 12. Allgemeine Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Streifen und Äquivalenzsatz.- 2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 3. Anfangswertproblem.- 4. Quadratische Differentialgleichungen erster Ordnung.- 5. Einführung einer Riemannschen Metrik im Rn.- § 13. Vollständige Integrale; Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.- 1. Vollständige Integrale.- 2. Anwendung auf die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung der Mechanik.- Drittes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 14. Charakteristiken eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Zweigliedrige Systeme.- 2. Deutung der Differentialgleichungen (14.1) längs einer vorgegebenen Kurve k.- 3. Erläuterung an Differenzengleichungen.- 4. Charakteristiken eines hyperbolischen Systems.- 5. n-gliedrige Systeme.- § 15. Anfangswertpr
